【数学】『論理』の重要性
今回は、数学の基礎の基礎であり、仕事や実生活にも役立つ
【論理】
について記述していこうと思います。
■論理
●論理とは
論理とは、合理的に物事を考えることです。
つまり、あるものごとが正しいと言えるかどうかを考える分野です。
例えば、
努力をすれば必ず成果が出る
という文は正しいかどうかということを考えます。
結論を言うと、上の文は正しくありません。
何故なら、努力をしても失敗してしまうこともあるからです。
このようなことを、考えていく分野となっております。
●命題
命題とは、判断を言語化したもので、真(true)または偽(false)という性質を持ちます。
「論理とは」で挙げた、
努力をすれば必ず成果が出る
も命題の1つです。
これ以降は、数学に関するものを主に扱っていきます。
●逆・裏・対偶
命題:P⇒Qがあるとします。
この時、Q⇒Pを、元の命題の逆、
¬P⇒¬Qを裏、
¬Q⇒¬Pを対偶といいます。
※¬PはPの否定、つまりPでないという意味です
例:
a>0 かつ b>0 ⇒ab>0
という命題があるとき、
ab>0⇒ a>0 かつ b>0は、元の命題の逆
a≤0 または b≤0 ⇒ab≤0
は、元の命題の裏、
ab≤0⇒ a≤0 または b≤0は、元の命題の対偶ということです。
●元の命題が真ならば、対偶も真である
元の命題と、その逆・裏・対偶との関係は以下の図のようになっています。
先ほどの命題を例に取ると、
元の命題:a>0 かつ b>0 ⇒ab>0
は、真です。
しかし、この命題の逆である、
ab>0⇒ a>0 かつ b>0は偽となります。
例えば、a=−2 かつ b=−3のとき、ab=(−2)×(−3)=5(>0) となり、ab>0となる条件が必ずしもa>0 かつ b>0だけではないからです。
このように、命題が成り立たない例のことを反例といいます。
裏:a≤0 または b≤0 ⇒ab≤0 についても、
逆の反例として挙げたように、a≤0とb≤0の両方が成り立つとき、ab≥0が成り立ってしまうため偽となります。
では、対偶はどうでしょうか?
対偶はab≤0⇒ a≤0 または b≤0ですが、
ab≤0となるためにはa, bのどちらか一方のみが0以下になる必要があるため、真となり、元の命題の真偽と一致します。
●なぜ元の命題と、その対偶の真偽は一致するか
実は、元の命題P⇒Qが真であるとき、以下のような図になっております。
Qという集合の中にPという集合がすっぽり含まれている状況になっています。
この状況が真であるとすると、Qという集合に入れない以上、Pという集合にも入れないので、対偶も真になります。
●必要十分条件
P⇒Qが真であるとき、
PはQであるための十分条件、QはPであるための必要条件であるといいます。
また、P⇒Qが真であり、Q⇒Pも真であるとき、P(Q)はQ(P)であるための必要十分条件、またはPとQは同値であるといい、P⇔Qと書きます。
●仕事や実生活への応用
以上のような考え方は、仕事や実生活にも応用できます。
例えば、
成果を出すためには、コミュニケーション能力が必要だ
という命題を上司や先輩から言われたときに、
成果を出す ⇒ コミュニケーション能力
という式が成り立ちます。
しかし、仕事の目的は「成果を出す」ことなので、「成果を出す」ことが必要条件である必要もあります。
コミュニケーション能力があれば必ず成果が出る(コミュニケーション能力 ⇒ 成果を出す)とは限らず、その成果に必要な他のスキルも同時に身に着けることによって、成果につながる十分条件が揃うようになります。
●まとめ
いかがでしょうか?今回解説した論理とこの後で解説する集合は、数学を学習する上でも、仕事をする上でもものすごく重要なものなので、是非参考にして、使ってみていただけると幸いです。 何かありましたら、コメント欄にお願いします。