【数学】『論理』の重要性

今回は、数学の基礎の基礎であり、仕事や実生活にも役立つ【論理】
について記述していこうと思います。

■論理

■論理

●論理とは

論理とは、合理的に物事を考えることです。つまり、あるものごとが正しいと言えるかどうかを考える分野です。

例えば、
努力をすれば必ず成果が出る
という文は正しいかどうかということを考えます。

結論を言うと、上の文は正しくありません。
何故なら、努力をしても失敗してしまうこともあるからです。

このようなことを、考えていく分野となっております。

●命題

命題とは、判断を言語化したもので、真(true)または偽(false)という性質を持ちます。
「論理とは」で挙げた、
努力をすれば必ず成果が出る
も命題の１つです。
これ以降は、数学に関するものを主に扱っていきます。

●逆・裏・対偶

命題： $P \Rightarrow Q$ があるとします。
この時、 $Q \Rightarrow P$ を、元の命題の逆、
$\neg P \Rightarrow \neg Q$ を裏、
$\neg Q \Rightarrow \neg P$ を対偶といいます。
※ $\neg P$ はPの否定、つまりPでないという意味です
例：
$a > 0$ かつ $b > 0$ $\Rightarrow ab > 0$
という命題があるとき、
$ab > 0 \Rightarrow$ $a > 0$ かつ $b > 0$ は、元の命題の逆
$a \le 0$ または $b \le 0$ $\Rightarrow ab \le 0$
は、元の命題の裏、
$ab \le 0 \Rightarrow$ $a \le 0$ または $b \le 0$ は、元の命題の対偶ということです。

●元の命題が真ならば、対偶も真である

元の命題と、その逆・裏・対偶との関係は以下の図のようになっています。

先ほどの命題を例に取ると、
元の命題： $a > 0$ かつ $b > 0$ $\Rightarrow ab > 0$
は、真です。
しかし、この命題の逆である、
$ab > 0 \Rightarrow$ $a > 0$ かつ $b > 0$ は偽となります。
例えば、 $a = -2$ かつ $b = -3$ のとき、 $ab = (-2)\times (-3) = 5(>0)$ となり、 $ab > 0$ となる条件が必ずしも $a > 0$ かつ $b > 0$ だけではないからです。
このように、命題が成り立たない例のことを反例といいます。
裏： $a \le 0$ または $b \le 0$ $\Rightarrow ab \le 0$ についても、
逆の反例として挙げたように、 $a \le 0$ と $b \le 0$ の両方が成り立つとき、 $ab \ge 0$ が成り立ってしまうため偽となります。

では、対偶はどうでしょうか？
対偶は $ab \le 0 \Rightarrow$ $a \le 0$ または $b \le 0$ ですが、
$ab \le 0$ となるためには $a$ , $b$ のどちらか一方のみが0以下になる必要があるため、真となり、元の命題の真偽と一致します。

●なぜ元の命題と、その対偶の真偽は一致するか

実は、元の命題 $P \Rightarrow Q$ が真であるとき、以下のような図になっております。

$Q$ という集合の中に $P$ という集合がすっぽり含まれている状況になっています。
この状況が真であるとすると、 $Q$ という集合に入れない以上、 $P$ という集合にも入れないので、対偶も真になります。

●必要十分条件

$P \Rightarrow Q$ が真であるとき、
$P$ は $Q$ であるための十分条件、 $Q$ は $P$ であるための必要条件であるといいます。
また、 $P \Rightarrow Q$ が真であり、 $Q \Rightarrow P$ も真であるとき、 $P(Q)$ は $Q(P)$ であるための必要十分条件、または $P$ と $Q$ は同値であるといい、 $P \Leftrightarrow Q$ と書きます。

●仕事や実生活への応用

以上のような考え方は、仕事や実生活にも応用できます。
例えば、
成果を出すためには、コミュニケーション能力が必要だ
という命題を上司や先輩から言われたときに、
成果を出す $\Rightarrow$ コミュニケーション能力
という式が成り立ちます。
しかし、仕事の目的は「成果を出す」ことなので、「成果を出す」ことが必要条件である必要もあります。
コミュニケーション能力があれば必ず成果が出る（コミュニケーション能力 $\Rightarrow$ 成果を出す）とは限らず、その成果に必要な他のスキルも同時に身に着けることによって、成果につながる十分条件が揃うようになります。

●まとめ

いかがでしょうか？今回解説した論理とこの後で解説する集合は、数学を学習する上でも、仕事をする上でもものすごく重要なものなので、是非参考にして、使ってみていただけると幸いです。何かありましたら、コメント欄にお願いします。