【数学】『論理』の重要性

今回は、数学の基礎の基礎であり、仕事や実生活にも役立つ 【論理】
について記述していこうと思います。

■論理

●論理とは

論理とは、合理的に物事を考えることです。 つまり、あるものごとが正しいと言えるかどうかを考える分野です。

例えば、
努力をすれば必ず成果が出る
という文は正しいかどうかということを考えます。

結論を言うと、上の文は正しくありません
何故なら、努力をしても失敗してしまうこともあるからです。

このようなことを、考えていく分野となっております。

●命題

命題とは、判断を言語化したもので、真(true)または偽(false)という性質を持ちます。
「論理とは」で挙げた、
努力をすれば必ず成果が出る
も命題の1つです。
これ以降は、数学に関するものを主に扱っていきます。

●逆・裏・対偶

命題:PQがあるとします。
この時、QPを、元の命題の
¬P¬Q
¬Q¬P対偶といいます。
¬PはPの否定、つまりPでないという意味です
例:
a>0 かつ b>0 ab>0
という命題があるとき、
ab>0 a>0 かつ b>0は、元の命題の
a0 または b0 ab0
は、元の命題の
ab0 a0 または b0は、元の命題の対偶ということです。

●元の命題が真ならば、対偶も真である

元の命題と、その逆・裏・対偶との関係は以下の図のようになっています。

逆・裏・対偶
逆・裏・対偶

先ほどの命題を例に取ると、
元の命題:a>0 かつ b>0 ab>0
は、真です。
しかし、この命題の逆である、
ab>0 a>0 かつ b>0となります。
例えば、a=2 かつ b=3のとき、ab=(2)×(3)=5(>0) となり、ab>0となる条件が必ずしもa>0 かつ b>0だけではないからです。
このように、命題が成り立たない例のことを反例といいます。
裏:a0 または b0 ab0 についても、
逆の反例として挙げたように、a0b0の両方が成り立つとき、ab0が成り立ってしまうためとなります。

では、対偶はどうでしょうか?
対偶はab0 a0 または b0ですが、
ab0となるためにはa, bのどちらか一方のみが0以下になる必要があるため、となり、元の命題の真偽と一致します。

●なぜ元の命題と、その対偶の真偽は一致するか

実は、元の命題PQであるとき、以下のような図になっております。

P⇒Q
P⇒Q

Qという集合の中にPという集合がすっぽり含まれている状況になっています。
この状況がであるとすると、Qという集合に入れない以上、Pという集合にも入れないので、対偶もになります。

必要十分条件

PQであるとき、
PQであるための十分条件QPであるための必要条件であるといいます。
また、PQであり、QPであるとき、P(Q)Q(P)であるための必要十分条件、またはPQ同値であるといい、PQと書きます。

●仕事や実生活への応用

以上のような考え方は、仕事や実生活にも応用できます。
例えば、
成果を出すためには、コミュニケーション能力が必要だ
という命題を上司や先輩から言われたときに、
成果を出す コミュニケーション能力
という式が成り立ちます。
しかし、仕事の目的は「成果を出す」ことなので、「成果を出す」ことが必要条件である必要もあります。
コミュニケーション能力があれば必ず成果が出る(コミュニケーション能力 成果を出す)とは限らず、その成果に必要な他のスキルも同時に身に着けることによって、成果につながる十分条件が揃うようになります。

●まとめ

いかがでしょうか?今回解説した論理とこの後で解説する集合は、数学を学習する上でも、仕事をする上でもものすごく重要なものなので、是非参考にして、使ってみていただけると幸いです。 何かありましたら、コメント欄にお願いします。